คลิก! ที่ตัวเลขข้างบนดูหน้าถัดไป >>
 ::: ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ::: 
โลกได้รู้จักอาร์คิมีดิส (Archimedes : ประมาณ 287 212 ปีก่อนคริสต์ศักราช) มากกว่าสองพันปีแล้ว ซึ่งยอมรับกันว่าเป็นนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดในโลกในยุคโบราณ อาร์คิมีดีสเกิดที่เมืองซีราคิวส์ (Syracuse) บนเกาะซิชิลี (Sicily) ที่เป็นอาณานิคมของกรีกขณะนั้น (ในปัจจุบันอยู่ทางตอนใต้ของประเทศอิตาลี)
 | Archimedes
นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่
อาร์คิมีดิสได้เดินทางไปเรียนคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ณ เมืองอะเล็กซานเดรียในประเทศอียิปต์ ซึ่งถือว่าเป็นศูนย์กลางการศึกษาของโลกในยุคนั้น วันหนึ่งอาร์คีมีดีสเห็นชาวนาอียิปต์ทุลักทุเลกับการทดน้ำเข้าไปใช้ในผืนนา จึงหาวิธีเชื่อมโยงความรู้เรขาคณิตเข้ากับหลักวิทยาศาสตร์ โดยได้ออกแบบประดิษฐ์ระหัดวิดน้ำที่มีลักษณะเป็นสกรูเกลียวเรียกว่า Archimedean Screw ซึ่งทำให้ทุ่นแรงในการดึงน้ำเข้านาได้อย่างดี ปัจจุบันสิ่งประดิษฐ์นี้ก็ยังใช้กันอยู่ในประเทศอียิปต์
หลังจากสำเร็จการศึกษา อาร์คีมีดิสเดินทางกลับบ้านเกิดและสร้างสรรค์ผลงานต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์มากมาย ผลงานทางวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงได้แก่ หลักการอาร์คิมีดีส (Archimedes Principle) ที่กล่าวถึงหลักการพื้นฐานของการลอยและน้ำหนักที่หายไปของวัตถุเมื่อวัตถุจมอยู่ในของเหลว แนวคิดเกี่ยวกับจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุ คานและรอกกับการทุ่นแรง ผลงานทางวิทยาศาสตร์เหล่านี้หลายส่วนเกี่ยวข้องกับการประดิษฐ์เครื่องมือที่นำไปใช้แก้ปัญหาได้จริง และมีการเชื่อมโยงความรู้โดยใช้คณิตศาสตร์มาช่วยในการให้เหตุผล และคำนวณผลลัพธ์ต่างๆ ทางวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง
อาร์คีมีดิสได้สร้างความรู้ไว้เป็นสมบัติของโลกมากมาย เมื่อศึกษาเรื่องใดแล้วอาร์คิมีดีสมักเขียนบันทึกสิ่งที่ค้นพบและนำเสนอแนวคิดไว้ในตำราต่างๆ หลายเล่ม บางครั้งก็ใช้วิธีการเขียนจดหมายติดต่อสื่อสารวิธีคิดของเขากับเพื่อนนักคณิตศาสตร์ผู้ที่สนใจในเรื่องที่คล้ายๆ กันด้วย ตำราเก่าแก่ทางวิทยาศาสตร์ซึ่งเขียนโดยอาร์คิมีดีส ได้แสดงให้เห็นถึงการนำเสนอความรู้ด้านคณิตศาสตร์ที่สำคัญโดยเฉพาะหัวข้อที่เกี่ยวข้องกับทรงกลม ทรงกระบอกและการประมาณเพื่อหาพื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับวงกลมและพาราโบลา ด้วยวิธีการที่เรียกว่า The Method of Exhaustion ซึ่งเป็นต้นกำเนิดของแคลคูลัสที่เป็นสาขาสำคัญสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์
ความสำเร็จของอาร์คิมีดีสส่วนหนึ่งมาจากนิสัยช่างสังเกต ครั้งหนึ่งอาร์คิมีดีสสังเกตวงกลมและมองเห็นแนวคิดในการประมาณค่าของ π โดยให้เหตุผลว่า ความยาวของเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่ล้อมรอบวงกลม ย่อมต้องยาวกว่าความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมนั้น อาร์คิมีดิสได้อาศัยแนวคิดนี้ประยุกต์กับความยาวของเส้นรอบรูปของรูปเก้าสิบหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า เขาคำนวณได้ว่าเส้นรอบวงของวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาวหนึ่งหน่วยจะอยู่ระหว่าง  และ  และเนื่องจากวงกลมที่มีเส้นผ่าศูนย์กลางยาวหนึ่งหน่วยมีเส้นรอบวงยาวเท่ากับ π หน่วย ดังนั้น < π < ซึ่งค่า π มีค่าประมาณ มาจากการคำนวณของอาร์คิมีดีสกว่าสองพันปีมาแล้ว ยังนิยมใช้กันทั่วโลกจนปัจจุบันนี้
อาร์คิมีดีสเป็นตัวอย่างของบุคคลที่มีทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่ดีเยี่ยม กล่าวคือ เป็นนักแก้ปัญหาและให้เหตุผลที่ดี เขารู้จักเชื่อมโยงความรู้ต่างแขนงเข้าด้วยกัน และเป็นผู้ที่มีความคิดสร้างสรรค์เป็นเลิศ ทั้งเมื่อค้นพบสิ่งใดก็สามารถนำเสนอเพื่อสื่อสารให้คนทั่วไปตั้งแต่โบราณถึงปัจจุบันได้ใช้ประโยชน์จากการค้นพบของเขา ดังตัวอย่างต่อไปนี้
พิจารณาปัญหาเกี่ยวกับการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตสองมิติที่ไม่มีสูตรสำเร็จในการคำนวณ ปัญหานี้เป็นอีกปัญหาหนึ่งที่อาร์คิมีดีสให้ความสนใจศึกษา เช่น ต้องการหาพื้นที่ของรูป A ข้างล่างนี้
วิธีการหนึ่งในการหาพื้นที่ คือการเขียนตารางเป็นช่องหนึ่งตารางหน่วยที่เท่ากันทับรูป A และให้ครอบคลุมรูป A จำนวนช่องที่ครอบคลุมรูป A ได้ใกล้เคียงที่สุดคือพื้นที่โดยประมาณของรูป A และถ้าตารางเป็นช่องเล็กลงเท่าใด พื้นที่โดยประมาณของรูป A ก็ยิ่งใกล้เคียงกับพื้นที่จริงมากขึ้นเท่านั้น
อาร์คิมีดีสสร้างสรรค์ด้วยการนำเสนอแนวคิดใหม่ที่แตกต่างสำหรับปัญหาข้างต้น โดยได้อธิบายด้วยวิธีการอันน่าทึ่งในตำราชื่อ The Method เริ่มด้วยการลอกรูป A ที่ต้องการหาพื้นที่ลงบนวัตถุที่มีความหนาสม่ำเสมอตลอดทั้งแผ่น ตัดแผ่นวัสดุตามรอยเส้นรอบรูป เรียกแผ่นวัสดุที่ตัดแล้วนี้ว่า แผ่น A พร้อมกันนั้นตัดปริซึมฐานสี่เหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีพื้นที่ฐานเท่ากับหนึ่งหน่วยเรียกว่าแผ่น 1 หน่วย ดังรูป
จากนั้นชั่งน้ำหนักของแผ่น A และแผ่น 1 หน่วย สมมติได้ค่าน้ำหนักเป็น a และ b ตามลำดับ อาร์คิมีดีสอธิบายและให้เหตุผลว่า แผ่นวัสดุที่หนัก b มีพื้นฐานเท่ากับ 1 ตารางหน่วย ดังนั้นแผ่นวัสดุ a จึงต้องมีพื้นฐานเท่ากับ  ตารางหน่วย หรือกล่าวเป็นสูตรได้ว่า
ตัวอย่างเช่น สมมติว่าแผ่น A หนัก 2.4 กิโลกรัม และแผ่น 1 หน่วยหนัก 0.12 กิโลกรัม พื้นที่ของรูป A =  = 20 ตารางหน่วย
แนวคิดในการหาพื้นที่ของอาร์คิมีดีสข้างต้นเป็นการเชื่อมโยงเรื่องราวความหนาแน่นของวัตถุ และพื้นที่เข้าด้วยกันด้วยการจำลองรูป A ลงบนแผ่นวัสดุที่มีความหนาสม่ำเสมอ แล้วหาน้ำหนัก 1 หน่วยของแผ่นวัสดุและน้ำหนักของแผ่น A ที่เป็นรูปจำลอง
จากตัวอย่างการคิดแก้ปัญหาของอาร์คิมีดีสเรื่องพื้นที่ของรูปเรขาคณิตสองมิติตามแนวทางข้างต้น ถือเป็นการสร้างองค์ความรู้ ดังกล่าวอาศัยทักษะกระบวนการการทางคณิตศาสตร์ด้านต่างๆ ได้แก่ การแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ การนำเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และความคิดริเริ่มสร้างสรรค์อย่างครบถ้วน
ในบทเรียนนี้ น้องๆ จะได้เรียนรู้และฝึกการใช้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ด้านต่างๆ ผ่านการแก้ปัญหาที่หลากหลาย
น้องๆ เคยทำกิจกรรมจากสถานการณ์ต่างๆ ที่ปรากฏอยู่ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์โดยใช้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์มาบ้างแล้ว น้องๆ อาจสังเกตได้ว่ากิจกรรมเหล่านั้นมีการแก้ปัญหา การเชื่อมโยงความรู้ การให้เหตุผล หรือการนำเสนอแนวคิดในการแก้ปัญหาในรูปแบบต่างๆ น้องๆ บางคนอาจนำความรู้ทักษาและประสบการณ์ที่ได้เรียนรู้ไปใช้แก้ปัญหานอกเหนือจากที่มีอยู่ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ด้วย
เพื่อให้น้องๆ ได้เห็นกระบวนการทางคณิตศาสตร์ชัดเจนขึ้น ได้ใช้ความรู้ ทักษะและประสบการณ์ในการพัฒนาทักษะกระบวนการ ซึ่งจะทำให้เกิดความคิดสร้างสรรค์และสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้ดียิ่งขึ้น
::: กิจกรรมพัฒนากระบวนการทางคณิตศาสตร์ ::: 
:::: มีอยู่เท่าไหร่
บวรมีดินสออยู่จำนวนหนึ่ง ที่จะนำไปแจกให้เด็ก ถ้าแจกให้เด็กกลุ่มที่หนึ่งคนละ 3 แท่งจะเหลือดินสออยู่ 1 แท่ง ถ้าแจกให้เด็กกลุ่มที่สองคนละ 4 แท่ง จะเหลือดินสออยู่ 3 แท่ง และถ้าแจกให้เด็กกลุ่มที่สามคนละ 5 แท่ง จะเหลือดินสออยู่ 4 แท่ง จงหาว่า บวรมีดินสออยู่อย่างน้อยกี่แท่ง
ให้น้องๆ พิจารณาปัญหาข้างต้นแล้วตอบคำถามต่อไปนี้
- จากเงื่อนไขในโจทย์ น้องๆ คิดว่าควรเริ่มพิจารณาจากดินสอกี่แท่ง เพราะเหตุใด
  
น้องๆ คิดว่าจะต้องใช้ความรู้เรื่องใดบ้างในการแก้ไขปัญหานี้
ให้น้องๆ ลองทำกิจกรรมและตอบคำถามต่อไปนี้ต่อไปนี้
- เขียนจำนวนดินสอเพิ่มจาก 9 ทีละ 1 แท่ง และหารแต่ละแท่งด้วยจำนวนที่ได้ด้วย 3, 4 และ 5 ตามลำดับ แล้วบันทึกคำตอบลงในตารางต่อไปนี้ จนกระทั่งได้จำนวนดินสอที่เป็นคำตอบของปัญหา
บวรมีดินสออย่างน้อยกี่แท่ง
น้องๆ ตรวจสอบได้อย่างไรว่าคำตอบในที่ผ่านมาเป็นจริง จงอธิบาย
เพื่อเป็นการปรับปรุงแนวคิดการแก้ปัญหาในข้อ 3 ให้น้องๆ ตอบคำถามต่อไปนี้
- จากเงื่อนไขที่ว่าแจกให้เด็กคนละ 3 แท่งแล้วเหลือเศษ 1 แท่ง น้องๆ คิดว่าบวรมีดินสิเป็นจำนวนคู่ได้หรือไม่ เป็นจำนวนคี่ได้หรือไม่
จากเงื่อนไขที่ว่าแจกให้เด็กคนละ 4 แท่ง แล้วเหลือเศษ 3 แท่ง น้องๆ คิดว่าบวรมีจำนวนดินสอเป็นจำนวนคู่ได้หรือไม่ เป็นจำนวนคี่ได้หรือไม่
จากเงื่อนไขที่ว่าแจกให้เด็กคนละ 5 แท่ง แล้วเหลือเศษ 4 แท่ง น้องๆ คิดว่าบวรมีจำนวนดินสอเป็นจำนวนคู่ได้หรือไม่ เป็นจำนวนคี่ได้หรือไม่
จากคำตอบข้างต้นน้องๆ คิดว่าบวรมีจำนวนดินสอเป็นจำนวนคี่ใช่หรือไม่
ให้น้องๆ เติมจำนวนดินสอในตารางดังตัวอย่าง จนได้รับดินสอที่เป็นคำตอบของปัญหา
บวรมีดินสออยู่อย่างน้อยกี่แท่ง
จากกิจกรรมข้างต้น จะทราบว่าบวรมีจำนวนดินสออย่างน้อย 19 แท่ง และสามารถตรวจสอบได้ว่า 19 เป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์ดังนี้
---------------19 ÷ 3 ได้ผลหารเป็น 6 เศษ 1
---------------19 ÷ 4 ได้ผลหารเป็น 4 เศษ 3
---------------19 ÷ 5 ได้ผลหารเป็น 3 เศษ 4
:::: มีอยู่กี่จำนวน
ให้น้องๆ ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้
ในระหว่าง 4,000 กับ 5,000 จงหาว่ามีจำนวนนับอยู่กี่จำนวน อะไรบ้างที่เลขโดดในหลักพันน้อยกว่าเลขโดดในหลักร้อย เลขโดดในหลักร้อยน้อยกว่าเลขโดดในหลักสิบ และเลขโดดในหลังสิบน้อยกว่าเลขโดดในหลักหน่วย
เช่น ..4589.. มี ..4 < 5, ..5 < 8 ..และ.. 8 < 9
เพื่อให้ได้แนวคิดในการแก้ปัญหา จงตอบคำถามต่อไปนี้
- เลขโดดในหลักพันมีได้กี่ตัว อะไรบ้าง จงอธิบาย
- เลขโดดในหลักร้อย อาจเป็นเลขโดดใดบ้างจงอธิบาย
- ถ้าเลขโดดในหลักร้อยเป็น 5 เลขโดดในหลักสิบ อาจเป็นเลขโดดใดได้บ้าง
- ถ้าเลขโดดในหลักสิบเป็น 6 เลขโดดในหลักหน่วย อาจเป็นเลขโดดใดได้บ้าง
- ให้น้องๆ เติมจำนวนและทำแผนภาพต้นไม้ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์
- คำตอบของปัญหานี้คืออะไร
:::: พื้นที่เป็นเท่าไร
1. ให้ น้องๆ ทำกิจกรรมตามลำดับขั้นต่อไปนี้
(1) ตัดกระดาษเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1 แผ่น
(2) กำหนดจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสี่
(3) พับมุมกระดาษเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉากยาวเป็นครึ่งหนึ่งของความยาวของด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในข้อ (1) ดังรูป
(4) กำหนดให้ □ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในข้อ (1) และ □ ที่ได้จากการพับมุมตามเงื่อนไข (3) ให้น้องๆ ตอบคำถามต่อไปนี้
(1) □ PQRS เป็นรูปสี่เหลี่ยมชนิดใด เพราะเหตุใด
(2) พื้นที่ของ □ PQRS เกี่ยวข้องกับพื้นที่ของ □ ABCD อย่างไร จงอธิบาย
(3) ถ้า □ PQRS มีพื้นที่ 1 ตารางหน่วย แล้วพื้นที่ของ □ ABCD เท่ากับกี่ตารางหน่วย
2. จากรูปที่กำหนดให้ รูปสามเหลี่ยมภายในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC ทุกรูปเกิดจากการลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสามด้านของรูปสามเหลี่ยมที่ใหญ่กว่า กระทำซ้ำๆ จนได้รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ภายในสุดมีพื้นที่ 1 ตารางหน่วย จงหาพื้นที่ของ Δ ABC พร้อมทั้งอธิบาย วิธีการหาคำตอบ
:::: นับอย่างไร
กำหนดให้มีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ได้มาจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 x 1 เรียงต่อกัน 7 รูป ดังรูป จงหาว่ามีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดต่างๆ ซ้อนอยู่ในรูปที่กำหนดให้ทั้งหมดกี่รูป
ให้น้องๆ พิจารณาปัญหาข้างต้นแล้วตอบคำถามต่อไปนี้
1. น้องๆ คิดว่าจะต้องใช้ความรู้เรื่องใดบ้างในการแก้ปัญหานี้
2. คำตอบของปัญหานี้คือ 7 รูป ใช่หรือไม่ จงอธิบาย
ปัญหาข้อนี้ใช้ความรู้เรื่องใดเป็นพิเศษ เพียงเข้าใจลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและสามารถแจงนับรูปได้ ก็หาคำตอบได้ คำตอบของปัญหานี้ไม่ใช่ 7 เพราะนอกจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กๆ ขนาด 1 x 1 จำนวน 7 รูปแล้ว ยังต้องแจงนับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดอื่นๆ ด้วย เช่น ขนาด 1 x 2 จำนวน 6 รูปดังนี้
3. น้องๆ คิดว่ารูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดเท่าใดที่ควรแจงนับต่อไป ให้เขียนแผนภาพประกอบคำตอบด้วย
4. นักเรียนคิดว่ายังมีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดใดอีกบ้างที่ต้องพิจารณา แต่ละขนาดมีอย่างละกี่รูป ให้น้องๆ แจงนับและบันทึกผลที่ได้ลงตารางให้สมบูรณ์
5. น้องๆ คิดว่ามีวิธีการหาจำนวนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดอย่างไร โดยไม่ต้องใช้แผนภาพทุกครั้งจงอธิบาย
6. ถ้ามีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ได้มาจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 x 1 เรียงต่อกัน 10 รูป น้องๆ คิดว่าจะมีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดต่างๆ ซ้อนอยู่ในรูปที่กำหนดให้ทั้งหมดกี่รูป
7. ถ้ามีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ได้มาจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 x 1 เรียงต่อกัน 100 รูป น้องๆ คิดว่าจะมีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดต่างๆ ซื้ออยู่ในรูปที่กำหนดให้ทั้งหมดกี่รูป
8. ถ้ามีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ได้มาจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 x 1 เรียงต่อกัน n รูป น้องๆ คิดว่าจะมีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดต่างๆ ซ้อนอยู่ในรูปที่กำหนดให้ทั้งหมดกี่รูป
|
